TEOREMA DE BERNOULLI

      El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido en reposo moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

1.     Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.

2.     Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.

3.     Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

     La siguiente ecuación conocida como “Ecuación de Bernoulli” (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

Con el equipo de ensayo HM 150.07 se demuestra el principio de Bernoulli determinando las presiones en un tubo de Venturi.El equipo de ensayo contiene una sección de tubo con un tubo de Venturi transparente y un tubo de Pitot móvil para medir la presión total. El tubo de Pitot se encuentra dentro del tubo de Venturi y es desplazado axialmente dentro de este. Gracias a la placa frontal transparente del tubo de Venturi, puede observarse la posición del tubo de Pitot.El tubo de Venturi posee puntos de medición para determinar las presiones estáticas. Las presiones de muestran en los 6 tubos manométricos. La presión total se mide con el tubo de Pitot y se indica en 1 tubo manométrico adicional.El equipo de ensayo se coloca de forma sencilla y segura sobre la superficie de trabajo del módulo básico HM 150. El suministro de agua y la medición de caudal se realizan a través del HM 150. Como alternativa, el equipo de ensayo también se puede conectar a la red del laboratorio.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:  

·         Viscosidad (fricción interna) =  Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona ‘no viscosa’ del fluido.
·         Caudal constante
·         Flujo incompresible, donde ρ es constante.
·         La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo rotacional.

La presión estática se refiere a la fuerza que ejerce un fluido en reposo sobre todas las caras de un recipiente en el que se encuentra contenido, cuando los fluidos se mueven en un conducto, la inercia del movimiento produce un incremento adicional de la presión estática al chocar sobre un área perpendicular al movimiento. Esta fuerza se produce por la acción de la presión conocida como dinámica, la cual depende de la velocidad y la densidad del fluido.

Para la realización de la práctica hicimos uso del módulo básico Gunt HM 150.07 (figura 1), a continuación se da una descripción del equipo:

figura 1. Gunt HM 150.07

Especificación [1] familiarización con el principio de Bernoulli [2] tubo de Venturi con placa frontal transparente y puntos de medición para la medición de presiones estáticas [3] tubo de Pitot desplazable axialmente para determinar la presión total en distintos puntos del tubo de Venturi [4] 6 tubos manométricos para indicar las presiones estáticas [5] 1 tubo manométrico para indicar la presión total [6] determinación de caudal a través del módulo básico HM 150 [7] suministro de agua con ayuda del módulo básico HM 150 o                                                                                 a través de la red del laboratorio Datos técnicos Tubo de Venturi - A: 84...338mm² - ángulo en la entrada: 10,5° - ángulo en la salida: 4° Tubo de Pitot - área desplazable: 0...200mm - diámetro: 4mm Tubos y conectores de tubos: PVC  Rangos de medición - presión estática: 0...290mmCA - presión total: 0...370mmCA Dimensiones y pesos LxAnxAl: 1100x680x900mm Peso: aprox. 28kg Necesario para el funcionamiento HM 150 (circuito de agua cerrado), toma de agua alternativa, desagüe Los datos obtenidos en la práctica, haciendo doble medición por punto (cambio de caudal; caudal 2)  fueron los siguientes: Tabla 1. Alturas totales y estáticas obtenidas en la práctica. punto 1 punto 2 punto 3 punto 4 punto 5 punto 6 hstat (m) 0.265 0.26 0.225 0.235 0.241 0.234 0.245 0.23 0.196 0.213 0.228 0.23 htot (m) 0.075 0.0745 0.0745 0.073 0.073 0.08 0.15 0.1515 0.151 0.15 0.16 0.157 Hallamos el caudal para cada una de los puntos y posteriormente calculamos la velocidad conociendo el área de cada punto (Ec. 1).

   

Tabla 2. Velocidades para cada punto con caudales distintos.

	V(m3)	t(s)	Q(m3/s)	A (m2)	v(m/s)
punto 1	5.80E-04	9.46	6.13E-05	3.38E-04	1.81E-01
	6.40E-04	9.91	6.46E-05		1.91E-01
punto 2	6.20E-04	9.56	6.49E-05	2.33E-04	2.78E-01
	5.90E-04	9.24	6.39E-05		2.74E-01
punto 3	6.00E-04	9.83	6.10E-05	8.46E-05	7.21E-01
	5.60E-04	8.91	6.29E-05		7.43E-01
punto 4	6.00E-04	9.51	6.31E-05	1.70E-04	3.71E-01
	6.20E-04	9.28	6.68E-05		3.93E-01
punto 5	5.45E-04	9.03	6.04E-05	2.55E-04	2.37E-01
	5.80E-04	9.12	6.36E-05		2.49E-01
punto 6	5.40E-04	8.95	6.03E-05	3.38E-04	1.79E-01
	6.00E-04	9.27	6.47E-05		1.91E-01

Gráfica 1. principio de continuidad

Para hallar la altura(h) dinámica, se hace uso de la Tabla 1 y de las siguientes expresiones:

Tabla 3. Alturas dinámicas de cada uno de los puntos con los dos caudales.

	punto 1	punto 2	punto 3	punto 4	punto 5	punto 6
hdinam (m)	-0.19	-0.1855	-0.1505	-0.162	-0.168	-0.154
	-0.095	-0.0785	-0.045	-0.063	-0.068	-0.0725

En la realización de las gráficas que muestren el comportamiento de las presiones multiplicamos las respectivas alturas (estática, dinámica y total ) por el peso específico del agua que corresponde a 9.8 KN/m3

Tabla 4. Presiones para caudal 1.

Punto	Pstat (Kpa)	Pdinámica(Kpa)	P total (Kpa)
1	2.597	-1.862	0.735
2	2.548	-1.8179	0.7301
3	2.205	-1.4749	0.7301
4	2.303	-1.5876	0.7154
5	2.3618	-1.6464	0.7154
6	2.2932	-1.5092	0.784

Tabla 5. Presiones para caudal 2

Punto	Pstat (Kpa)	Pdinámica(Kpa)	P total (Kpa)
1	2.401	-0.931	1.47
2	2.254	-0.7693	1.4847
3	1.9208	-0.441	1.4798
4	2.0874	-0.6174	1.47
5	2.2344	-0.6664	1.568
6	2.254	-0.7105	1.5435

Ahora, comprobaremos el teorema de Bernoulli haciendo la comprobación de la expresión:

(h_stat1+ v₁²/2g)= (h_stat2+ v₂²/2g)= (h_stat3+ v₃²/2g)= (h_stat4+ v₄²/2g)= (h_stat5+ v₅²/2g)= (h_stat6+ v₆²/2g)

la anterior expresión se obtuvo de la siguiente suposición:

Energía total =𝑣²/2𝑔+𝑃𝛾+𝑧

𝑃=𝛾∗ℎ𝑠𝑡𝑎𝑡

Para facilitar los cálculos hacemos esta simplificación que es válida pues en todo el sistema se usó el mismo líquido.

 𝐸𝑛𝑒r𝑔i𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=𝑣²/2𝑔+ℎ𝑠𝑡𝑎𝑡+𝑧

 Para este experimento z tiene un valor de 0, pues no hay variación en las alturas respecto a los puntos del sistema.

𝐸𝑛𝑒r𝑔i𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=𝑣2/2𝑔+ℎ𝑠𝑡𝑎𝑡

Tabla 6. Expresión de Bernoulli para cada uno de los puntos en los dos caudales.

	punto 1	punto 2	punto 3	punto 4	punto 5	punto 6
Energía total	0.266677032	0.26394872	0.25153113	0.24202012	0.24385521	0.23562409
	0.246860717	0.2338278	0.22413072	0.2208721	0.2311702	0.23186901

Cálculo del caudal teórico

Para hallar este valor se utiliza la siguiente ecuación, tanto para el caudal 1 como el caudal     2:

Cálculo del coeficiente de descarga

Este valor C, corrige el resultado del cálculo del Q_teórico, pues con la ecuación anterior no se consideran pérdidas de energía, el Q_real es el promedio de los caudales obtenidos en la práctica para ambas mediciones:

Cálculo del caudal real

Para hallar este valor, se debe calcular el producto entre el Q_teórico y el coeficiente de descarga:

A partir de lo anterior, obtenemos los siguientes valores:

Tabla 7. Promedio de los caudales reales

	Caudales reales
Punto	Q1(m3/s)	Q2(m3/s)
1	6.13E-05	6.46E-05
2	6.49E-05	6.39E-05
3	6.10E-05	6.29E-05
4	6.31E-05	6.68E-05
5	6.04E-05	6.36E-05
6	6.03E-05	6.47E-05
Promedio	6.1833E-05	6.4417E-05

Tabla 8. Caudales reales y teóricos, coeficiente de descarga 

	caudal 1	caudal 2
Qteórico(m3/s)	8.5677E-05	8.56775E-05
C	0.79877442	0.751850849
Qreal(m3/s)	6.1833E-05	6.44167E-05

ANÁLISIS DE RESULTADOS

A partir de la Tabla 2 y gráfica 1, se puede evidenciar y confirmar el principio de continuidad que determina que el caudal o flujo volumétrico en la entrada debe ser igual al final del conducto, por lo tanto la velocidad de un fluido aumenta cuando el área del conducto disminuye y así mismo disminuye su velocidad cuando el área se incrementa; este principió se puede evidenciar en todos los puntos para las dos mediciones hechas, sin embargo, en el desarrollo de la práctica el caudal obtenido en todos los puntos para las dos   mediciones hechas no fue el mismo ya que la bomba que impulsaba la corriente de  agua, estaba conectada a una corriente alterna; es decir que la corriente eléctrica no era   continua y fija. También pudimos ver en estas tablas que la presión total respresentada por la altura total va disminuyendo a lo largo del tubo de Venturi, puede ser debido a las pérdidas de energía por fricción del fluido que ocurre dentro del mismo.

En la gráficas podemos evidenciar el comportamiento entre la presión hidrostática y la presión de estancamiento en cada punto del tubo, se observa un comportamiento inusual ya que se esperaría una presión dinámica positiva y en la gráfica se esperaría que cuando el fluido esté pasando por la garganta del tubo la presión hidrostática se reduzca y la presión dinámica aumente  hasta que ambas líneas se crucen entre sí, y  cuando el fluido salga de la garganta la presión hidrostática vuelva a aumentar y la dinámica disminuya de nuevo y así las  líneas vuelvan a su curso normal; este comportamiento esperado seria uno ideal  Esto se pudo presentar debido a errores en la práctica, ya sea tomando los datos o en errores que presento el equipo usado.  

  Con la Tabla 6, es posible demostrar el teorema de Bernoulli, puesto que los valores calculados para cada una de las dos mediciones (caudal 1 y caudal 2) por punto son muy  similares entre si y se encuentran desfasados por un     valor muy pequeño. Este porcentaje   de error se le puede atribuir a los errores sistemáticos tanto personales como     fallas en el  dispositivo a la hora de realizar las medidas (caudal, tiempo, alturas).

Comparando los valores obtenidos en la Tabla 7 y 8, se puede apreciar que el coeficiente de descarga no influye mucho en los valores entre el promedio de los caudales obtenidos en la práctica y el caudal real hallado entre el producto del caudal teórico y el "C", sin embargo, si se hace la comparación entre el valor del caudal real y el teórico,  se puede considerar una gran diferencia entre los dos datos y por lo tanto una importancia significativa del coeficiente de descarga, pues este toma en cuenta las pérdidas de energía que se dan por  distintos factores como lo es la fricción contra las paredes de la tubería.

CONCLUSIONES

• A mayor área transversal del conducto por donde pasa un fluido, su velocidad disminuye y viceversa.
• El caudal que posee un fluido es constante a lo largo de su trayectoria, sin embargo en la practica no se observo este principio puesto que la corriente eléctrica utilizada para el funcionamiento de la bomba es de tipo alterna(senoidal).
• Se comprobó también que en sistemas de tubería la energía se conserva, a pesar de que las variables de velocidad y presión cambian de manera inversa a lo largo de  una  tubería; esto se  debe  al  aumento  o  disminución  del  diámetro,  ya  que  si aumenta el diámetro va a aumentar la presión y disminuir la velocidad, y  si por el contrario tiende a disminuir el diámetro, la presión disminuye y la velocidad aumenta, esto ocurre para mantener el sistema en equilibrio de tal forma que se cumpla el principio de Bernoulli. 
• El coeficiente de descarga mide las pérdidas de energía que se dan al paso del fluido por el circuito, y de esta manera es posible obtener el caudal real con el que se llevó a cabo el procedimiento.

BIBLIOGRAFÍA

•    Gunt Hamburg. HM 150.07 principio de Bernoulli. Fundamentos de mecánica de fluidos. Recuperado de http://www.gunt.de/
•  Peraltablog. Teorema de Bernoulli y sus aplicaciones. Recuperado de https://peraltablog.wordpress.com